Variation de signes et grassmanniennesUn sous-espace de dimension k de R^n est appelé totalement positif si, dans la base canonique, toutes ses coordonnées de Plücker sont strictement positives. Un théorème de Gantmacher-Krein caractérise les sous-espaces totalement positifs en fonction de la variation des signes des vecteurs dans le sous-espace. La variation d'un vecteur est définie comme le nombre de changements de signes dans ses coordonnées.Grâce à des résultats récents de Guichard et Wienhard sur la positivité dans les groupes de Lie, une analogie devrait exister entre les sous-espaces positifs dans le sens ci-haut et les sous-espaces définis-positifs d'un espace vectoriel muni d'une forme bilinéaire non-dégénérée de signature (p,q). Dans le second contexte, chaque sous-espace possède une signature, et cette signature peut être caractérisée par le signe de la forme bilinéaire évaluée sur les vecteurs du sous-espace. Le projet proposé est d'étudier la variation de signes dans les grassmanniennes pour tenter d'établir une notion similaire de signature et de la caractériser en termes de variation de signes.

Ranking Method AnalysisThis project explores the practical and theoretical aspects of rating in competitions whereteams face each other via matches. The rating consists of finding an interpretable way to allow predict the outcome of future matches. The project is an analysis of these methods. My role in this project is to participate in the algorithmic study as well as data collection, processing, and visualization using Python as a programming language.